Inteligencia matemática
Descubre al matemático que llevas dentro
Primera edición en esta colección: marzo de 2016
© Eduardo Sáenz de Cabezón, 2016
© de la presente edición: Plataforma Editorial, 2016
Plataforma Editorial
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ISBN: 978-84-16620-42-5
Diseño de cubierta y composición: Grafime
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A Elena. A Juan. A Lucía. A Míkel.
Si estás leyendo esto seguramente ya es demasiado tarde para avisarte, pero quizá estamos aún a tiempo: déjalo. Déjalo, de verdad, no empieces siquiera, no sigas leyendo, cierra el libro y déjalo apartado. Guárdalo para siempre o dáselo a alguien. O mejor aún, tíralo lejos de ti, donde no puedas volver a abrirlo. Si conoces algún búnker nuclear sellado, mételo ahí.
En serio, éste es un libro sobre matemáticas. ¿Quién leería un libro sobre matemáticas sin que le obliguen? No seas tú, aún puedes evitarlo. No digas que no te lo he advertido, es posible que si sigues leyendo encuentres cosas que no te van a gustar. O peor aún, es posible que encuentres cosas que sí te van a gustar. Cosas sobre las matemáticas. Y eso no puede ser, es raro. Venga ya. No sigas.
Veo que no me haces caso. Seguramente piensas que estoy de broma, o que exagero. Allá tú, yo ya no puedo hacer más. Si has decidido leer, no puedo impedírtelo. Al menos déjame pedirte que leas este libro con cuidado. Ten cuidado porque si finalmente decides seguir adelante, es posible que haya cambios en tus ideas sobre las matemáticas, esas ideas con las que llevas viviendo tan cómodamente todo este tiempo. Es posible que si sigues leyendo, este maldito libro te induzca a pensar que las matemáticas no son tan odiosas, que en ellas intervienen la creatividad y el juego de formas que no sospechabas. Que en ellas es tan importante la intuición como el cálculo, la imaginación como la técnica, y que incluso te abren oportunidades de disfrutar de la realidad de una forma distinta. Es posible.
En este libro vas a encontrarte con grandes matemáticos. Vas a enfrentarte a las trampas y a las satisfacciones del pensamiento lógico. Vas a ver acertijos, y juegos. Vas a ver problemas aparentemente inocentes que la humanidad aún no ha podido resolver. Hay alguna historia triste, otras maravillosas. Quizá haya alguna oportunidad para la risa. Te encontrarás en algún momento razonando, experimentando o incluso sorprendiéndote. Trataré de hacerte ver que conviene tener algo de matemático en esta vida, y que aunque mucha gente tiene una historia de frustración con las matemáticas, es posible reconciliarse con ellas sin traumas ni sufrimientos. Quizá hagamos algunas cuentas y algunos diagramas, no pasa nada, ¿verdad?
Seguramente la mejor forma de describir lo que tienes delante es diciendo que es un paisaje muy variado, mucho. Algunos de sus aspectos estimularán más a algunas personas que a otras, hay quien disfrutará de partes que dejarán indiferentes al resto. Alguna gente no entenderá que otros gocen con algunos de los capítulos de este libro. Pero así son las matemáticas, y así son las muchas formas de pensar en matemáticas.
Este libro tiene dos partes. En la primera trato de describirte de alguna manera cómo pensamos la gente que nos dedicamos a las matemáticas, cuáles son los fundamentos del pensamiento matemático. No es una exposición exhaustiva, ni analizo los mecanismos cerebrales involucrados, ni entro en grandes profundidades. Es una exposición simple que quiere permitirte tener una idea de qué es lo que tiene en su cabecita la gente que se dedica a las matemáticas. Por cierto, que eso tú también lo tienes, lo ejercites o no. La primera parte es la más difícil, ten paciencia contigo mismo. No sé si eres chico o chica, da igual, en esto de las matemáticas no está claro que haya una diferencia entre la forma de pensar de las mujeres y la de los hombres. Tampoco sé si preferirás imaginarte dentro de ti a un «matemático interior» o a una «matemática interior» para ayudarte a razonar, da lo mismo. Lo importante es que, ya que has decidido empezar, aproveches al máximo el tiempo que vamos a pasar juntos. Este libro no se lee de forma distraída y de un tirón. Hay pasajes por los que pasarás rápidamente y otros en los que te detendrás un tiempo si quieres comprenderlo todo. No pasa nada, esto no es una carrera, es un paseo, y cuando quieras darte la vuelta, la das y ya está.
La segunda parte del libro trata de ayudarte a mantener activo a tu matemático o matemática interior, a que os llevéis bien y tengáis una relación fluida que sea beneficiosa para ambos. Tienes un matemático interior, lo quieras o no. Yo me lo imagino como una especie de Yoda pequeñito dentro de mí, que habla raro y razona de forma lógica. Tal vez el tuyo se asustó en la escuela y permanece oculto en un rincón, o anda disfrazado de otras cosas, o percibe en ti un rechazo que no se atreve a romper. Yo qué sé, quizá se siente culpable por no ser capaz de mostrarte lo mejor de sí mismo y que lo aprecies. La segunda parte del libro está pensada para que hagáis cosas juntos, para que él te enseñe lo que sabe, para que se sienta útil y tú lo percibas así. Para que hagáis algún viaje juntos y aprendas cómo cuidarle. Para que vuestra relación, vaya a ser ésta más o menos intensa, sea al menos natural y cordial. Que ambos os sintáis a gusto el uno con el otro.
He colocado a lo largo del libro problemas y cuestiones matemáticas con la benévola intención de que te desanimen a seguir. También puede ser que, por desgracia, en lugar de desanimarte te sirvan de acicate, de motivación, que te resulten interesantes o incluso divertidos. Si es así, no es culpa mía, no era mi intención, y si te diviertes es por tu culpa, yo declino toda responsabilidad en eso. El propósito de todas esas cuestiones y problemas es que de algún modo experimentes en tu propia carne las formas de razonar de los matemáticos. Es mejor entonces que tomes lápiz y papel, que garabatees soluciones, que escribas, dibujes y emborrones, que experimentes las pequeñas frustraciones y las íntimas satisfacciones que produce el razonamiento matemático, la resolución de problemas, el llegar a tus propias demostraciones. Ésa es la mejor forma de leer este libro, ya que te has decidido a leerlo: con un lápiz y un papel al lado. Eso sí, te lo advierto, si te pones a ello tu cerebro va a trabajar, y eso cuesta un cierto esfuerzo. Pero de todas formas si no te salen los ejercicios o no resuelves los problemas, si no logras las demostraciones, no te preocupes. Cuando ya no te divierta o no te interese intentar solucionarlos, mira tranquilamente las pistas que te doy para ayudarte. O mira cuando quieras las soluciones, sin remordimientos ni sentimiento de incapacidad. Esas maldades las dejamos para los ejercicios de los libros de texto y los exámenes de matemáticas. En este libro no hay calificaciones, ni sobresalientes ni suspensos, ni listos ni tontos. Sólo es una propuesta para entender en qué consiste eso que llaman inteligencia matemática.
Prepárate o abandona. Empezamos.
Aquí tienes pistas y soluciones para los ejercicios propuestos. Hay una lista de pistas y otra de soluciones completas.
Si no sabes por dónde empezar, lo cual es muy normal, acude a la lista de pistas para los ejercicios. Es posible que te ayuden a comenzar, a intentar e incluso a resolver algunos ejercicios. Algunas pistas dan indicaciones extensas y otras son meras reformulaciones del enunciado del ejercicio. Sirven casi siempre para ayudarte a empezar, que es lo más complicado.
Y si con las pistas no tienes suficiente, los ejercicios están todos resueltos en el capítulo de soluciones. No pasa nada si no logras resolver alguno. A todos nos pasa con los ejercicios de los libros. He tratado de explicar las soluciones de forma que sean también ilustrativas del modo de razonar que seguimos en matemáticas.
Espero que disfrutes tanto de los intentos de resolver los ejercicios como de las soluciones que alcances.
Las matemáticas son de listos, eso lo sabe todo el mundo. Es más, cuando se piensa en un test de inteligencia, de esos para medir el coeficiente intelectual de las personas, lo que se mide principalmente es la capacidad de razonamiento lógico-matemático: series de números o series de figuras en las que hay que decir cuál es el siguiente elemento, problemitas de lógica, incluso cálculo mental. Eso ha sido así «de toda la vida». Cuando a una madre le dicen: «Señora, su hija tiene una capacidad de razonamiento lógico-matemático sobresaliente», la madre de la criatura se alegra en lo más hondo de su corazón, lo cuenta en el vecindario y se congratula con la familia. Normal, ¿se le dan bien las matemáticas? Eso significa que es lista. ¿Se le dan mal? Es tontita, pobre, pero seguro que encuentra algo que se le dé bien. La inteligencia se identifica con la inteligencia de las matemáticas o sus derivados: las ciencias y las ingenierías. ¿Cuántas veces hemos oído eso de que «el que vale vale y el que no a letras»? Si es que es así, el razonamiento lógico-matemático es lo que determina la inteligencia, el coeficiente intelectual. O determinaba. Porque resulta que vino el aguafiestas de Howard Gardner a finales de los años 80 con la teoría esa de las inteligencias múltiples y se acabó la hegemonía del razonamiento lógico-matemático. Fatal.
Bueno, ya en serio, no: no está fatal. Hace mucho tiempo que está claro que la capacidad para el razonamiento lógico-matemático no es la única forma de inteligencia. La verdad es que no hacía falta esperar a la teoría de las inteligencias múltiples para descubrir que la única forma de inteligencia no es la inteligencia matemática. No sé muy bien cómo definir la inteligencia en general, o la inteligencia humana en particular. Me quedo tranquilo porque no soy el único que tiene dificultades para eso. Párate a pensar, ¿qué dirías que es inteligencia? Quizá lo más honesto es decir que con la palabra inteligencia nos referimos a varias habilidades diferentes, o que ciertas habilidades son muestra de inteligencia. La capacidad de aprender, la resolución de problemas, la comprensión, la creatividad, la empatía… todo eso forma parte de la inteligencia, y según sea lo que estamos aprendiendo, los problemas a los que nos enfrentamos o el tipo de conceptos que comprendemos y creamos, hablamos de tipos de inteligencia. O de distintas expresiones de algo abstracto y general que llamamos inteligencia. Quien es capaz de comunicarse bien con otros demuestra inteligencia, quien es capaz de comprender a los demás demuestra inteligencia, quien puede entender conceptos complejos demuestra inteligencia. Ya sea para jugar un gran partido de fútbol, componer una canción emotiva, consolar a un amigo, formar un buen equipo de trabajo, analizar un problema de física de partículas o formular una buena teoría matemática… se necesita «eso». Eso que es una mezcla de habilidades de muy distinto tipo y que llamamos inteligencia.
La ventaja de situar la inteligencia matemática en el contexto de los otros tipos de inteligencia, ya sea dentro de la teoría de las inteligencias múltiples de Gardner y sus seguidores o de los estudiosos que desde la Antigüedad han pensado sobre la inteligencia humana, es que ayuda a definir en qué consiste la inteligencia matemática. Delimitar los mecanismos, las habilidades y capacidades que conforman este tipo de inteligencia nos ayuda a entenderla mejor, a potenciarla y a utilizarla de forma más adecuada. La inteligencia matemática, si la queremos definir por los problemas a los que se enfrenta, sería la que nos hace capaces de seguir líneas de razonamiento lógico, la que nos hace establecer y comprender las relaciones entre conceptos abstractos como, por ejemplo, los números. Y también nos ayuda a buscar un lenguaje que nos permita comprendernos a nosotros mismos y al mundo que nos rodea.
No te asustes, que no voy a meterme en temas tan profundos. Hay tres o cuatro conceptos que sí van a aparecer a lo largo del libro y que, si existiera una «definición de la inteligencia matemática», formarían con toda seguridad parte de ella: abstracción, generalización, lógica, identificación de patrones. No tengo la pretensión de hacer un tratado psicológico, filosófico o fenomenológico sobre la inteligencia matemática, el razonamiento lógico y todo eso. No me siento capaz, seguramente escribiría un rollazo impresionante y no creo que aportara gran cosa. En su lugar, juntos vamos a tratar de ver la inteligencia matemática en acción, experimentándola en carne propia, poniéndola en práctica. La idea es no sólo aproximarnos a cómo la mente de los matemáticos actúa frente a los problemas de la lógica, el álgebra o la geometría, sino también, y de alguna manera a la vez, echar un vistazo al fruto de la inteligencia matemática, es decir, al acercamiento matemático a la realidad cotidiana. A lo largo del camino, iré proponiendo diversos problemas, retos y juegos que permitirán practicar en primera persona los mecanismos de la inteligencia matemática. Algunos de ellos los explicaré paso a paso, tratando de diseccionar los razonamientos que participan en la resolución de un problema o en su mismo planteamiento. En otros casos te propondré que los hagas tú, intercalados en el texto o en los ejercicios al final de cada capítulo. Aprovecharás más el libro si los afrontas, los resuelvas correctamente o no.
A veces la inteligencia matemática se identifica con la inteligencia que suponemos a un robot o a un ordenador: la capacidad de cálculo y de procesamiento de datos, sin lugar para emociones o empatía. Estoy seguro de que ya sabes que no es así pero, por si acaso, dejémoslo claro. No identifiques la inteligencia matemática con saber multiplicar de memoria números de ocho cifras. Eso es habilidad de cálculo, y nada más. Es cierto que gran parte de las matemáticas tienen que ver con números y que los cálculos son frecuentes. Pero no pienses que estoy de broma cuando digo que hay matemáticos a los que se les dan fatal los números y las cuentas. Ser buen matemático y tener gran capacidad de cálculo son dos cosas diferentes. Te pongo dos ejemplos de matemáticos extremadamente inteligentes, dos genios de naturaleza muy diferente.
Alexander Grothendieck fue uno de los matemáticos más creativos del siglo XX. Realmente revolucionó las matemáticas, en concreto las relaciones entre el álgebra y la geometría. Pensó más allá de lo que se había pensado hasta entonces. Después de él, una parte amplia de las matemáticas nunca se volvió a hacer de la misma manera. Hoy en día seguimos explorando las matemáticas que Grothendieck inventó. Era un genio en el sentido más intenso y clásico de la palabra, alguien que supo ver más lejos de lo que los demás ni imaginaban. Y sin embargo, se dice que era muy malo con los números, que no sabía pensar «en concreto». Cuentan que un día, durante una conversación matemática, alguien le pidió a Grothendieck que dijera un número primo cualquiera. Él se sorprendió un poco: «¿Un número primo en concreto?, ¿de verdad?», y tras un segundo de pensamiento dijo: «El 57». Pero resulta que, como seguramente has notado, el 57 no es primo (es 19 por 3). Desde entonces, y medio en broma, al 57 se le conoce como el «primo de Grothendieck».
En el otro extremo de su relación con los números, con los números concretos, un verdadero amigo de las cifras fue Srinivasa Ramanujan. Ramanujan era un muchacho indio sin prácticamente formación matemática que de forma autodidacta y espontánea llegó a comprender muchos secretos de los números. De alguna forma, sus trabajos llegaron a dos de los mayores matemáticos de su época, los ingleses Godfrey Hardy y John Littlewood, que le acogieron en Cambridge. Ramanujan pasó varios años en Cambridge logrando resultados maravillosos. Enfermó de tuberculosis y murió demasiado joven. Una anécdota que cuenta Hardy de Ramanujan dice que cuando fue a visitarle en Putney, por estar enfermo, Hardy había viajado en un taxi con el número 1729 y le dijo a Ramanujan que le parecía un número intrascendente, sin gracia. «No», respondió Ramanujan, «es un número muy interesante, es el menor número que puede expresarse como suma de dos cubos de dos maneras diferentes». Efectivamente, 1729 es 13+123 y también 93+103. Hasta ese punto llegaba la intimidad de Ramanujan con los números. Hoy en día, a los números que pueden expresarse de dos formas diferentes como suma de dos cubos se les llama «números de Hardy-Ramanujan».
Vamos a ir calentando la cabecita. Al final de cada capítulo habrá uno o más ejercicios que pueden darte un poco de entretenimiento pero que sobre todo sirven para que despiertes un poco al matemático que llevas dentro y que empieces a comprender cómo piensa. Cuidado, son muy importantes, forman parte del libro, una parte sustancial. Te van a ayudar a sacar provecho de este libro, si es que tiene alguno. Contribuirán a aclarar lo que te cuento en la obra y, lo que es más importante, a conocer y entrenar a tu matemático interior.
Esta vez tienes un solo ejercicio, no es gran cosa, simplemente para jugar un poco con los números.
Ejercicio 1: Encuentra algún número que pueda ponerse como suma de dos cuadrados de dos formas diferentes.